莱布尼茨公式通俗讲解指南

作者：聂志强（高考志愿填报专家）发布时间：2025-02-13 03:42:25 阅读112次

嘿，同学们，今天咱们来聊聊莱布尼茨公式，这可是个数学里的宝贝！如果你对二项式展开还记忆犹新，那学起这个公式来就轻松多了。莱布尼茨公式，说白了，就是二项式展开在导数上的运用。咱们废话不多说，直接上手！

公式本质

想象一下，你有一个函数(uv)^n，你想知道它的n阶导数是多少。莱布尼茨公式告诉你，就是把这些项加起来：从u的n阶导数与v的0阶导数相乘，一直到u的0阶导数与v的n阶导数相乘，每项前面还要乘上一个组合数C(n,k)。 2

记忆这个公式，你可以想象成把(u+v)^n按二项式定理展开，但这次不是加，而是乘导数，还要带上组合数。是不是一下子就记住了？ 3

这里有几个符号得说清楚：Σ是求和符号，C(n,k)是组合符号，表示n取k的组合；u^(n-k)表示u的n-k阶导数，v^k表示v的k阶导数。 4

咱们来个表格，把公式里的各项都列出来，这样更直观：

项数	组合数C(n,k)	u的导数阶数	v的导数阶数
1	C(n,0)	n	0
2	C(n,1)	n-1	1
...	...	...	...
k	C(n,k)	n-k	k
n+1	C(n,n)	0	n

记住，用莱布尼茨公式时，u和v都必须在指定点处有n阶导数。还有，第一项和最后一项的u和v是不求导的，别漏了。 6

好了，同学们，莱布尼茨公式就是这么个东西，看似复杂，其实掌握了规律就很简单。下次遇到(uv)^n的n阶导数，直接用公式搞定！加油，数学的世界等着你们去探索！阅读全文