极限不存在的三种核心情况

作者：江小平（高考志愿填报专家）发布时间：2025-02-14 09:52:42 阅读78次

同学们，今天咱们来聊聊极限不存在的三种关键情况。在数学的海洋里，极限是个绕不开的话题，掌握它，才能乘风破浪。

极限为无穷大

第一种情况，极限为无穷大。这很直观，如果函数的值随着自变量的变化趋向于无穷大，那么极限就不存在。毕竟，无穷大与极限存在的定义是相悖的。想象一下，一个数轴上的点越跑越远，直到看不见边际，那就是极限不存在的直观表现。 2

第二种情况，左右极限不相等。这在分段函数中尤为常见。想象一下，你从左边靠近一个点，得到的极限值和你从右边靠近这个点得到的极限值不一样，那极限自然就不存在。这就像两个人分别从左右两边走向同一个点，但他们心中的“极限”却大相径庭。 3

第三种情况，函数在某点没有确定的极限值。比如，sin(x)在x趋近于无穷大时就没有确定的极限。这种情况就像你在一个迷雾中，无论你怎么走，都看不清前方的路，因为根本就没有一个确定的方向。 4

咱们聊聊怎么判断极限是否存在。这里有几点小技巧：如果结果是无穷小，那就用0代入；如果分子极限是无穷小而分母不是，那极限就是0；如果分子不是而分母是，那极限就是无穷大；如果都是，那就得用罗毕达方法了。 5

有些函数的极限很难直接求，这时咱们就得借助一些判定定理了。比如夹逼定理、单调有界准则和柯西准则。这些定理就像是数学工具箱里的扳手和螺丝刀，帮你打开极限的大门。

判定定理	描述
夹逼定理	通过找到两个极限相同的函数，夹住目标函数，从而证明或求得极限值。
单调有界准则	单调增加（减少）且有上（下）界的数列必定收敛。
柯西准则	数列收敛的充分必要条件是任意项之间的差都小于任意给定的正数。
无穷小判定	结果是无穷小时，用0代入。
罗毕达方法	当分子分母均为无穷小时，使用此方法确定极限。