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作者：聂志强（高考志愿填报专家）
发布时间：2024-12-13 15:23:00
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当我们谈到arctanx的导数，实际上是在探讨反三角函数的微分问题。要明确arctanx是tanx的反函数，因此其导数涉及到反函数的求导法则。
arctanx的导数推导
设$x = tan y$，对两边求导得到：
$1 = sec^2 y cdot frac{dy}{dx}$
由于$sec^2 y = 1 + tan^2 y = 1 + x^2$，我们可以得到：
$frac{dy}{dx} = frac{1}{1 + x^2}$
因此，$(arctan x)' = frac{1}{1 + x^2}$。
反函数求导公式
若函数$x = f(y)$在区间$I_y$内单调、可导且$f'(y) neq 0$，则其反函数$y = f^{-1}(x)$在区间$I_x = {x | x = f(y), y in I_y}$内也可导，且：
$left[ f^{-1}(x) right]' = frac{1}{f'(y)}$
这个公式告诉我们，反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
实例分析
以$x = sin y$为例，其中$y in left[ -frac{pi}{2}, frac{pi}{2} right]$，其反函数为$y = arcsin x$。由于$frac{dx}{dy} = cos y$，根据反函数求导公式，我们有：
$frac{dy}{dx} = frac{1}{cos y} = frac{1}{sqrt{1 - sin^2 y}} = frac{1}{sqrt{1 - x^2}}$
因此，$(arcsin x)' = frac{1}{sqrt{1 - x^2}}$。
总结
通过上述分析，我们不仅得出了arctanx的导数，还探讨了反函数求导的一般方法。在实际应用中，这些公式和方法对于解决复杂的微积分问题至关重要。希望同学们能够熟练掌握，并在解题中灵活运用。
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