判断函数有界性技巧汇总
作者：申晓东（高考志愿填报专家）
发布时间：2025-02-15 10:33:42
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同学们，大家好！今天咱们来聊聊如何判断一个函数是否有界。这可是数学里的一个基础问题，但掌握好了，对你们填报志愿选专业，甚至以后深造都大有裨益。
直接判断法：最直接的方法，如果函数在定义域上连续，或者虽有有限个第一类间断点但仍是常义可积的，那么这个函数在定义域上必然有界。这可是个铁律，记住了！
1理论法详解
理论法就是咱们刚才提到的铁律。一个函数如果在闭区间上连续，或者放宽到有限个第一类间断点，那它必然有界。这里的“有限个第一类间断点”指的是函数图像上那些可以“补平”的小缺口，不影响整体的有界性。
2计算法验证
计算法需要咱们动手算一算。切分定义域，检查区间端点处的极限是否存在。如果左端点右极限和右端点左极限都存在，那么函数在该定义域内有界。这个方法虽然稍显繁琐，但胜在直观，适合检验一些复杂函数。
3运算规则判定
还有一个简便方法，利用运算规则。有界函数加减乘除（除数不为零）仍然是有界函数，有限个有界函数的组合仍然是有界函数。这个规则很实用，可以迅速判断一些复合函数的有界性。
4函数性质关联
咱们来看看函数的其他性质与有界性的关系。单调性、连续性、可积性，这些性质都能在一定程度上反映函数的有界性。比如，闭区间上的单调函数必有界，连续函数也必有界。反过来可就不一定了哦！
好啦，说了这么多，同学们应该已经对如何判断函数是否有界有了个大概的认识。记住这些方法和规则，多做练习，你们一定能掌握这个数学小技巧！下面，我给大家准备了几张表格，详细列举了不同函数类型的有界性判断方法，供大家参考。
| 函数类型 | 判断方法 | 示例 |
|---|
| 连续函数 | 直接判断有界 | f(x)=sin(x) |
| 分段函数 | 检查各段及分段点 | f(x)={x,x≥0; -x,x
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