抛物线性质详解及公式汇总
作者：雷丽（高考志愿填报专家）
发布时间：2025-02-16 15:10:20
阅读35次
1抛物线性质概览
抛物线，这一几何图形，在几何光学、力学等领域扮演着重要角色。它不仅是圆锥曲线的一种，还可视为二次函数的图像。今天，咱们就来聊聊抛物线的性质及关键公式。
2焦半径公式
对于抛物线$y^2=2px$（$p>0$），其上任意一点$M(x_0,y_0)$到焦点F的距离$|MF|$等于$x_0+frac{p}{2}$。这个公式揭示了抛物线上点到焦点的距离与坐标的关系。
3通径长度
抛物线的通径，即过焦点且垂直于对称轴的弦，其长度为$frac{2p}{3}$。这是抛物线上最短的一条焦点弦。
4焦点弦公式
对于抛物线$y^2=2px$，若A、B为焦点弦上的两点，则有：
$|AB|=x_1+x_2+p$（当A、B不垂直于x轴时）
$|AB|=2psin^2theta$（$theta$为焦点弦与x轴的夹角）
若抛物线方程为$x^2=2py$，焦点弦AB的端点坐标为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则有$x_1x_2=-frac{p^2}{4}$，$y_1y_2=frac{p^2}{4}$。
5焦点弦端点坐标关系
对于抛物线$y^2=2px$，若A、B为焦点弦上的两点，且直线AB的斜率为k，则有：
$x_1x_2=frac{p^2}{4}$
$y_1y_2=-p^2$
若设$m=frac{1}{2}(x_1+x_2)$，$n=frac{1}{2}(y_1+y_2)$，则$m^2+n^2k^2=p^2$（k存在时）
6抛物线定义及应用
抛物线，是平面内到定点与定直线距离相等的点的轨迹。它在几何光学中用于设计反射镜，力学中则用于分析抛体运动。抛物线还是数学研究中的重要对象，与二次函数紧密相关。
以下表格汇总了抛物线的一些关键性质和公式：
| 性质/公式 | 描述 |
| 焦半径公式 | $|MF|=x_0+frac{p}{2}$ |
| 通径长度 | $frac{2p}{3}$ |
| 焦点弦公式（不垂直x轴） | $|AB|=x_1+x_2+p$ |
| 焦点弦公式（夹角θ） | $|AB|=2psin^2theta$ |
| 焦点弦端点坐标关系 | $x_1x_2=-frac{p^2}{4}$，$y_1y_2=frac{p^2}{4}$（$y^2=2px$时） |
阅读全文
