法线与切线斜率关系详解
作者：冉雪莉（高考志愿填报专家）
发布时间：2025-02-16 13:13:07
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同学们，今天咱们来聊聊法线与切线的斜率关系。这可是个基础但关键的知识点，尤其在解析几何和微积分中，它无处不在。
1法线与切线斜率乘积为-1
要明确一个基本事实：由于切线与法线垂直，它们的斜率乘积等于-1，而不是文章开头提到的那个奇怪的数字。设切线斜率为β，法线斜率为α，则α*β=-1。
2切线方程与导数
咱们说说切线方程。对于曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线，其方程可由导数表示：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)。这里，f'(x0)就是函数在x0处的导数，也就是切线的斜率。
3法线方程推导
有了切线方程，法线方程就迎刃而解了。由于法线与切线垂直，法线的斜率就是-1除以切线的斜率，即-1/f'(x0)。因此，法线方程为：y-f(x0)=(-1/f'(x0))*(x-x0)。
4实际应用与例题解析
下面，咱们通过一个例题来加深理解。比如，给定函数y=x^2-2x-3，求在点(0,-3)处的切线方程。先求导数y'=2x-2，然后代入x0=0得切线斜率k=-2。利用点斜式方程y-y0=k(x-x0)，得到切线方程为y=-2x-3。
5总结与表格
总结一下，法线与切线的斜率关系是学习解析几何和微积分的基础。为了方便大家记忆和应用，我整理了一张表格，详细列举了切线方程、法线方程以及它们与导数的关系。
| 项目 | 切线 | 法线 |
| 斜率关系 | β | -1/β |
| 方程形式 | y-f(x0)=β(x-x0) | y-f(x0)=(-1/β)(x-x0) |
| 与导数关系 | β=f'(x0) | 法线斜率=-1/f'(x0) |
| 应用实例 | y=-2x-3 (y=x^2-2x-3在(0,-3)处) | y=1/2*x-3 (同上) |
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