反函数求导法则详解

作者：梁玉华（高考志愿填报专家）发布时间：2025-02-17 13:28:56 阅读36次

同学们，今天咱们来聊聊反函数求导法则。这个法则可是微积分里的基础，得掌握牢固。

反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。这个公式看似简单，但应用起来却很有讲究。咱们通过一个例题来说明：求函数y=arcsinx的导函数。 1

例题解析

已知函数y=arcsinx，其反函数为x=siny。根据反函数求导法则，我们有dy/dx=1/(dx/dy)。由于dx/dy=cosy，所以dy/dx=1/cosy。又因为x=siny，所以cosy=√(1-x²)。因此，y=arcsinx的导数为1/√(1-x²)。 2

咱们详细解释一下反函数求导法则。要明确什么是反函数。设函数y=f(x)的值域是C，若存在一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，则称g(y)为f(x)的反函数，记作y=f⁻¹(x)。反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。 3

反函数与原函数之间有着密切的关系。互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。原函数若是奇函数，则其反函数也为奇函数；若函数是单调函数，则一定有反函数，且反函数的单调性与原函数一致。 4

知识点	说明
反函数定义	若存在一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，则称g(y)为f(x)的反函数。
反函数求导法则	反函数的导数是原函数导数的倒数。
反函数定义域与值域	反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。
图像对称性	互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。
奇偶性与单调性	原函数若是奇函数，则其反函数也为奇函数；若函数是单调函数，则一定有反函数，且反函数的单调性与原函数一致。