收敛发散判别法详解

作者：陆晓东（高考志愿填报专家）发布时间：2025-02-15 11:20:09 阅读51次

同学们，判断数列或函数的收敛与发散，是数学学习中至关重要的一环。今天，咱们就来聊聊怎么判断收敛与发散。

最直接的方法，就是看当项数n趋于无穷大时，数列的值是否趋于一个常数。如果趋于常数，那就是收敛；如果找不到这样的常数，那就是发散。这是判断收敛与发散的基本法则。 1

收敛定义

具体来说，如果数列{Xn}存在常数a，对于任意正数q，总能找到一个正整数N，使得n>N时，数列项Xn与a的差的绝对值小于q，那么就说数列{Xn}收敛于a。 2

我们还可以通过求极限来判断。如果数列项数n趋于无穷时，数列的极限能一直趋近于某个实数a，那么这个数列就是收敛的；反之，如果找不到这样的实数a，那么这个数列就是发散的。 3

在计算过程中，遇到复杂的无穷小时，我们可以采用一些简化方法。加减运算时，高阶无穷小可以直接舍去；乘除运算时，可以用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小。 4

收敛数列有几个重要的性质，比如极限唯一、数列有界、保号性等。同时，收敛数列与其子数列的关系也值得注意：如果数列收敛，那么它的任一子数列也收敛，且极限与原数列相同。 5

除了上述方法，还有一些其他的判断收敛性的准则，比如达朗贝尔收敛准则、柯西收敛准则、根式判敛法等。同学们可以根据具体情况选择合适的方法进行判断。下面，我为大家整理了一个表格，详细列举了收敛与发散判断的相关知识点，希望能对大家有所帮助：