复合函数求导的简明公式与方法

作者：申悦（高考志愿填报专家）发布时间：2025-02-05 13:40:09 阅读53次

复合函数，简单来说，就是一个函数套着另一个函数。比如你有一个函数y=f(u)，然后又有一个u=g(x)，那么y就成了x的复合函数，写作y=f[g(x)]。求这种函数的导数，就是复合函数求导。

复合函数求导有个非常实用的公式：如果y=f(u)且u=g(x)，那么dy/dx=f'(u)*g'(x)。这里f'(u)是函数f对u的导数，g'(x)是函数g对x的导数。这个公式告诉我们，要找到复合函数对x的导数，只需要分别找到外函数和内函数各自的导数，然后乘起来就行了。举个例子，如果y=ln(x^2+2)，这就是一个复合函数，因为你可以把x^2+2看作是一个内函数u=g(x)，而ln(u)是外函数y=f(u)。根据我们的公式，dy/dx=[1/(x^2+2)]*2x。看，是不是很简单？ 再来说说复合函数求导的步骤： 分解函数：你需要把复合函数分解成几个简单的函数。就像我们刚才做的那样，把y=ln(x^2+2)分解成y=ln(u)和u=x^2+2。 分别求导：然后，对每个简单的函数分别求导。在我们的例子中，就是对ln(u)求导得到1/u，对u=x^2+2求导得到2x。 相乘并还原：把求得的导数乘起来，并把中间变量还原成原来的自变量。在我们的例子中，就是把1/u和2x乘起来，并把u替换成x^2+2，得到最终的导数dy/dx=[1/(x^2+2)]*2x。下面我给大家列一个表格，详细列举了几个常见的复合函数及其求导结果，方便大家对照学习：

复合函数	分解后的函数	求导结果
y=sin(x^2)	y=sin(u), u=x^2	dy/dx=cos(x^2)*2x
y=e^(3x)	y=e^u, u=3x	dy/dx=e^(3x)*3
y=√(1+x^3)	y=√u, u=1+x^3	dy/dx=(1/2√(1+x^3))*3x^2
y=ln(5x)	y=ln(u), u=5x	dy/dx=(1/5x)*5=1/x
y=tan(4x)	y=tan(u), u=4x	dy/dx=(1/cos^2(4x))*4