偶函数导数奇函数性质详解

作者：马琪（高考志愿填报专家）发布时间：2025-02-15 10:36:38 阅读31次

偶函数的导数一定是奇函数，这是数学中的一个重要性质。今天，咱们就来聊聊这事儿，以及奇函数和偶函数那些不得不说的秘密。

偶函数导数奇函数性质

设可导的偶函数f(x)，满足f(-x)=f(x)。对其两边求导，利用复合函数求导法则，可得f'(-x)=-f'(x)，即f'(x)为奇函数。这一性质，是数学分析中的基础，对于理解函数的奇偶性与导数的关系至关重要。 2

奇函数性质概览

奇函数，是指满足f(-x)=-f(x)的函数。这类函数有几个显著特点：两个奇函数相加或相减仍为奇函数；奇函数与偶函数相加或相减为非奇非偶函数；两个奇函数相乘或相除为偶函数；奇函数与偶函数相乘或相除为奇函数；当且仅当f(x)=0（定义域关于原点对称）时，f(x)既是奇函数又是偶函数。奇函数在对称区间上的积分为零。 3

偶函数性质概览

偶函数，满足f(-x)=f(x)。这类函数的图像关于y轴对称。值得注意的是，定义域关于原点对称是函数成为偶函数的必要不充分条件。例如，f(x)=x^2是偶函数，但f(x)=x^2（x∈(-2,2]）不是偶函数，因为其定义域不关于原点对称。 4

奇偶函数组合性质

奇函数与偶函数的组合，会产生不同的奇偶性。如上所述，奇函数与奇函数、偶函数与偶函数的组合，分别保持奇偶性不变；而奇函数与偶函数的组合，则会产生非奇非偶函数或奇函数，具体取决于它们是相加还是相乘。以下表格详细列举了奇偶函数的性质及组合结果：

函数类型	相加	相减	相乘	相除
奇+奇	奇	奇	偶	偶（除数不为0）
偶+偶	偶	偶	偶	偶（除数不为0）
奇+偶	非奇非偶	非奇非偶	奇	奇（除数不为0）
奇×奇	偶	偶	奇	奇（除数不为0）
偶×偶	偶	偶	偶	偶（除数不为0）