变上限积分求导公式详解

作者：任晨（高考志愿填报专家）发布时间：2025-02-18 11:36:23 阅读29次

同学们，今天咱们来聊聊变上限积分求导公式，这可是数学里的重头戏！

公式定义

变上限积分，简单来说，就是积分上限是一个变量x的函数。比如∫axf(t)dt，这里x就是上限，每给一个x，就能积分出一个实数，因此这是关于x的一元函数。 2

证明过程

咱们用导数定义来证明这个公式。设g(x)=∫axf(t)dt，要求g'(x)。根据导数定义，g'(x)=lim[g(x+h)-g(x)]/h（h趋于0）。这等于lim∫xx+hf(t)dt/h。根据积分中值定理，存在ξ∈(x,x+h)，使得上述极限等于f(ξ)。当h趋于0时，ξ趋于x，所以极限等于f(x)。至此，证明了g'(x)=f(x)。 3

表格列举

序号	公式名称	公式表达式	说明
1	变上限积分	∫axf(t)dt	积分上限是变量x的函数
2	导数定义	g'(x)=lim[g(x+h)-g(x)]/h（h趋于0）	用于求函数在某点的导数
3	积分中值定理	存在ξ∈[a,b]，使得∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)	积分值等于某一点的函数值与区间长度的乘积
4	求导结果	g'(x)=f(x)	变上限积分求导的结果是被积函数
5	应用示例	∫0xt²dt=(1/3)x³	示例说明公式的具体应用