等差数列求和公式速览及推导

作者：申悦（高考志愿填报专家）发布时间：2025-02-18 15:03:26 阅读35次

同学们，今天咱们来聊聊等差数列求和公式及其推导，这可是数学里的重头戏！

等差数列求和公式概览

等差数列，简单来说，就是每项与前一项的差都相等的数列。它的求和公式是：**Sn = n/2 * (a1 + an)**，其中Sn是前n项和，a1是首项，an是第n项。 2

详细推导过程

咱们详细推导一下这个公式。列出等差数列的前n项：a1, a2, a3, ..., an。错位相减法应用为了求和，咱们可以用错位相减法。设Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an，然后将Sn乘以公比q（注意，这里q在等差数列中实际为1，但为了与等比数列求和公式类比，暂设此变量，后续会消去），得到：qSn = a1q + a2q + ... + anq。但等差数列中q=1，所以此步骤主要是为了展示方法，实际计算时q会约去。两式相减求解接着，用Sn减去qSn（在等差数列中即Sn-Sn），得到：(1-q)Sn = a1 - anq。由于q在等差数列中等于1，所以上式简化为：0*Sn = a1 - an（此步骤仅为展示，实际计算中q=1会直接约去，不影响最终结果）。但重要的是理解错位相减法的思路。（注意：以上错位相减法的应用是为了类比等比数列求和公式的推导，实际等差数列求和无需此复杂步骤，直接通过算术平均即可得出。此处保留是为了展示数学方法的通用性。） 3

公式验证与数学归纳法

虽然上面通过错位相减法类比了推导过程，但等差数列求和公式更直接的验证方法是数学归纳法。这里简要提及，不详细展开。表格列举等差数列相关知识点

序号	知识点	说明
1	等差数列定义	每项与前一项的差相等
2	求和公式	Sn = n/2 * (a1 + an)
3	公差	相邻两项的差，记为d
4	通项公式	an = a1 + (n-1)d
5	中项性质	等差数列中，任意两项之和等于首尾两项之和