函数有界证明全攻略

作者：申晓东（高考志愿填报专家）发布时间：2025-02-15 09:27:34 阅读36次

同学们，今天咱们来聊聊如何证明函数有界，这可是数学里的重头戏啊！

核心要点

证明函数有界，关键在于找到一个正数M，使得对所有x，函数值f(x)的绝对值都小于M。反过来，证明无界则是说，无论M多大，总能找到一个x，使得f(x)的绝对值大于M。 2

明确函数的定义域Df。然后，根据函数的性质，通过理论法、计算法或运算规则判定法来证明其有界性。比如，连续函数在闭区间上通常是有界的。 3

以函数f(x)=1/(1+x²)为例，当x趋于0时，f(x)趋于1；当x趋于无穷大时，f(x)趋于0。由于0≤f(x)≤1，所以这个函数在其定义域内是有界的。 4

下面是几种常用的证明方法：

方法名称	描述
理论法	若函数在定义域上连续或常义可积，则必然有界。
计算法	通过计算定义域端点的极限值，若存在则函数有界。
运算规则判定	有界函数加减乘除（有限次）后仍为有界函数。
几何判定	若找不到两条与x轴平行的直线夹住函数图像，则函数无界。
实例列举	如sinx、cosx、arctanx等均为常见的有界函数。