函数可导精髓解析

作者：陆雪（高考志愿填报专家）发布时间：2025-02-15 20:15:09 阅读49次

函数可导的核心条件

函数要想在某点可导，关键在于三点：一是函数在该点连续，二是左右两侧导数都得存在，三是这两侧的导数还必须相等。听起来复杂，其实与函数在某点极限存在的条件异曲同工。记住，这三点是判断函数在某点是否可导的金科玉律。 2

常有同学误以为，只要函数定义在全体实数上，就处处可导。大错特错！举个例子，绝对值函数在x=0处就不可导，因为左导数和右导数不相等。定义域广不代表处处可导哦。 3

如果函数f(x)在某个区间(a,b)内每一点都可导，那么就说f(x)在这个区间上可导。这时，可以构造出一个新的函数，即f(x)的导函数，记为f'(x)。在闭区间[a,b]上，只要f(x)在区间内可导，且在a点右导数和b点左导数存在，就说f(x)在闭区间上可导。 4

原函数f(x)在其定义域内某个开区间I的每一点都可导时，对于I内每一个x值，都对应f(x)的一个确定导数。这些导数构成的新函数，就是f(x)的导函数，记作y'或f'(x)。换句话说，原函数在其可导点上都对应一个唯一的导数值，这些导数值构成的新函数就是导函数。 5

下面，我们通过表格来更直观地理解函数可导的条件及定义：

序号	条件/定义	详细说明
1	函数在某点连续	函数在该点附近的值变化不大，趋于稳定。
2	左右导数存在	函数在该点左侧和右侧的切线斜率都存在。
3	左右导数相等	函数在该点的切线唯一，斜率相同。
4	导数的定义	函数在某点处的导数值等于该点附近函数值变化量与自变量变化量之比的极限。
5	导函数与原函数关系	原函数在其可导点上的导数值构成的新函数。