二阶非齐次线性微分特解指南

作者：纪晓风（高考志愿填报专家）发布时间：2025-02-15 10:21:23 阅读52次

二阶非齐次线性微分方程，听起来复杂，但掌握了特解的设法，就能迎刃而解。今天，咱们就来聊聊这特解怎么设，让你在遇到这类问题时，能迅速找到突破口。

一、基础回顾 二阶常系数非齐次线性微分方程形如y'' + py' + qy = f(x)。特解的设法，关键在于f(x)的形式。不同形式的f(x)，对应着不同的特解设法。 二、特解设法详解 1

f(x)为多项式

若f(x) = Pn(x)，即n阶多项式，特解设为y* = x^k * Qm(x)。其中，Qm(x)与Pn(x)同次，k的取值依据0是否为特征值及重数而定。 2

f(x)为多项式乘以指数函数

若f(x) = Pn(x) * e^αx，特解设为y* = x^k * Qm(x) * e^αx。k的取值同样依据α是否为特征值及重数而定。 3

f(x)为三角函数乘以多项式再乘以指数函数

若f(x) = [Pl(x)cos(βx) + Pn(x)sin(βx)] * e^αx，特解设为y* = x^k * [Rm1(x)cos(βx) + Rm2(x)sin(βx)] * e^αx。k、Rm1(x)、Rm2(x)的设法均有讲究。 三、表格总结 以下是特解设法的详细表格，帮助大家一目了然：

f(x)形式	特解设法	k的取值	备注
Pn(x)	x^k * Qm(x)	依据0是否为特征值及重数	Qm(x)与Pn(x)同次
Pn(x) * e^αx	x^k * Qm(x) * e^αx	依据α是否为特征值及重数	-
[Pl(x)cos(βx) + Pn(x)sin(βx)] * e^αx	x^k * [Rm1(x)cos(βx) + Rm2(x)sin(βx)] * e^αx	依据α±iβ是否为特征值	m = max{l, n}
其他复杂形式	依据具体情况灵活设定	依据特征方程具体分析	需综合考虑f(x)的各项组成
组合形式	结合上述多种设法	依据各部分特征值综合分析	注意各部分间的相互影响