复合函数单调性判断秘诀
作者：任晨（高考志愿填报专家）
发布时间：2025-02-11 18:25:35
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同学们，复合函数的单调性判断是数学学习中的一大难关，但老师这就给你们支支招，让你们轻松搞定！
复合函数的单调性，其实就一句话：“同增异减”。也就是说，如果内函数和外函数单调性相同，那复合函数就增；如果单调性相反，那复合函数就减。简单明了，对吧？
具体怎么判断呢？咱们分五步走：
1 求定义域
你得知道复合函数的定义域是啥，不然讨论单调性就是无稽之谈。
2 分解函数
接着，把复合函数分解成若干个常见函数，比如一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
3 判断单调性
然后，分别判断这些常见函数的单调性。这一步是基础，得扎实掌握。
4 转化取值范围
把中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围。这一步需要点技巧，但多练练就能掌握。
5 求复合函数单调性
根据“同增异减”的原则，求出复合函数的单调性。这一步是检验你前面步骤是否正确的关键。
为了让大家更直观地理解，老师还给你们准备了几个表格：
| 函数类型 | 单调性 |
|---|
| 一次函数 | 根据斜率判断 |
| 二次函数 | 根据开口方向和顶点判断 |
| 幂函数 | 根据指数判断 |
| 指数函数 | 底数大于1时增，小于1时减 |
| 对数函数 | 底数大于1时增，小于1时减（与指数函数相反） |
还有关于定义域、单调区间、不连续点等注意事项的表格，这里就不一一列举了。同学们，只要掌握了这些方法，复合函数的单调性判断就不再是难题了！加油！
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