叉乘点乘运算精髓速览

作者：黎明（高考志愿填报专家）发布时间：2025-02-14 07:30:45 阅读47次

嘿，同学们，今天咱们来聊聊数学中的叉乘点乘混合运算，这可是个重头戏啊！

混合积的轮换对称性

混合运算有个关键点，就是混合积具有轮换对称性。简单来说，就是(a,b,c)、(b,c,a)、(c,a,b)这三个组合算出来的结果是一样的，而(a,c,b)、(c,b,a)、(b,a,c)这三个组合则是前面结果的相反数。记住这一点，混合运算就成功了一半！ 2

在深入之前，咱们得先搞清楚向量是啥。向量啊，就是既有大小又有方向的量，可以想象成带箭头的线段。箭头指哪儿，方向就是哪儿；线段多长，大小就是多少。 3

咱们说说向量的数量积，也就是点乘。点乘的结果是一个数，这个数等于两个向量模的乘积再乘以它们夹角的余弦值。记住，点乘满足交换律和分配律，但不满足结合律和消去律哦！ 4

说完点乘，咱们再聊聊叉乘。叉乘的结果是一个向量，这个向量与原来两个向量都垂直。叉乘的模等于两个向量模的乘积再乘以它们夹角的正弦值。而且啊，叉乘不满足乘法交换律，a叉乘b等于负b叉乘a。 5

运算类型	结果类型	模的计算公式	满足的运算律
点乘	数	\|a\|\|b\|cos	交换律、分配律
叉乘	向量	\|a\|\|b\|sin	不满足乘法交换律
混合积	数	根据向量顺序计算	轮换对称性
向量的模	数	√(a²+b²+c²)	无特定运算律
向量夹角	角	cosθ=(a·b)/(\|a\|\|b\|)	无特定运算律