求特定函数反函数过程解析

作者：龙燕（高考志愿填报专家）发布时间：2025-02-15 11:38:05 阅读42次

同学们，今天咱们来聊聊一个具体的数学问题——求函数y = 2^x / (2^x + 1)的反函数。这个问题看似复杂，但只要跟着老师的步骤走，保证你能轻松掌握！

原函数分析

咱们得明确原函数的定义域和值域。对于函数y = 2^x / (2^x + 1)，其定义域为全体实数R，值域为(0,1)。这是因为当x取任意实数值时，2^x总是大于0，所以y的值始终在0和1之间。 2

反函数推导

咱们开始推导反函数。将原函数进行变形，得到y(2^x + 1) = 2^x，进一步化简为y*2^x + y = 2^x，即(1-y)*2^x = y。由此，咱们可以解出x的表达式：x = log2[y / (1-y)]。注意，这里的log2表示以2为底的对数。同时，由于原函数的值域为(0,1)，所以反函数的定义域也应为(0,1)。 3

反函数表达式

综上，咱们得到了原函数的反函数表达式：y = log2[x / (1-x)]，其中x∈(0,1)。 4

详细表格解析

步骤	操作	结果
1	原函数表达式	y = 2^x / (2^x + 1)
2	变形得到y的表达式	y(2^x + 1) = 2^x
3	化简得到(1-y)*2^x = y	(1-y)*2^x = y
4	解出x的表达式	x = log2[y / (1-y)]
5	确定反函数定义域	x∈(0,1)