上下限定积分求导公式详解
作者：任晨（高考志愿填报专家）
发布时间：2025-02-17 07:34:02
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各位同学，咱们今天来聊聊上下限定积分求导公式，这可是微积分里的重头戏啊！
1基础公式
对于积分上下限为常数的积分函数，其导数非常简单，结果为零。公式如下：
[∫acf(x)dx]' = 0，其中a、c为常数。
2积分上限为函数的求导公式
当积分上限是函数时，求导公式就复杂一些了。公式如下：
[∫g(x)cf(x)dx]' = f[g(x)]*g'(x)，其中g(x)为积分上限函数。
3积分下限为函数的求导公式
虽然不常见，但积分下限为函数时也有对应的求导公式。不过要注意，这里的符号是负的。公式如下：
[∫ap(x)f(x)dx]' = -f[p(x)]*p'(x)，其中p(x)为积分下限函数。
4积分上下限都为函数的求导公式
当积分上下限都是函数时，求导公式结合了上述两种情况。公式如下：
[∫g(x)p(x)f(x)dx]' = f[g(x)]*g'(x) - f[p(x)]*p'(x)。
5积分变限函数详解
积分变限函数，就是用定积分定义的函数，自变量出现在积分的上限或下限。这类函数在微积分里非常重要，它们与普通的函数形式有所不同，因为它们是由定积分来定义的。
6表格总结
| 公式类型 | 公式内容 | 说明 |
|---|
| 积分上下限为常数 | [∫acf(x)dx]' = 0 | 导数结果为零 |
| 积分上限为函数 | [∫g(x)cf(x)dx]' = f[g(x)]*g'(x) | 求导公式 |
| 积分下限为函数 | [∫ap(x)f(x)dx]' = -f[p(x)]*p'(x) | 求导公式，注意符号为负 |
| 积分上下限都为函数 | [∫g(x)p(x)f(x)dx]' = f[g(x)]*g'(x) - f[p(x)]*p'(x) | 结合上述两种情况 |
| 积分变限函数 | 用定积分定义的函数，自变量在积分上下限 | 定义与特点 |
好啦，今天的分享就到这里。希望同学们能够掌握这些公式，为后续的微积分学习打下坚实的基础！
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