相交弦定理详解及证明技巧

作者：赖小刚（高考志愿填报专家）发布时间：2025-02-15 02:15:06 阅读51次

相交弦定理，这可是解决圆内弦相关问题的利器！今天，咱们就来聊聊这个定理及其证明方法。

相交弦定理概述

相交弦定理，简而言之，就是圆内两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。或者，经过圆内一点引两条弦，这两条弦被该点所分成的两段线段长的积也相等。这个定理在解决圆的弦相关问题时非常实用。 2

相交弦定理的证明

证明相交弦定理，我们可以连结两条弦的四个端点与交点，形成两个三角形。利用圆周角定理的推论，我们可以证明这两个三角形相似，从而得出线段长的积相等。具体证明过程如下：连结AC、BD，由圆周角定理的推论得∠A=∠D，∠C=∠B，因此△PAC∽△PDB，所以PA∶PD=PC∶PB，即PA·PB=PC·PD。 3

相交弦定理的应用

相交弦定理在解决圆内弦相关问题时非常实用。例如，已知圆内有相交两弦，一弦长为8cm并被交点平分，另一弦被交点分成12:4两部分，我们就可以利用相交弦定理求出另一弦的长。具体解法为：设另一弦被交点分成的两部分的长分别为a和4a，根据相交弦定理得a·4a=16，解得a=2，所以另一弦的长为5a=10cm。 4

相交弦定理的逆定理

相交弦定理的逆定理同样重要。它的逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法，也可用于证明四点共圆。逆定理的表述为：如果圆内两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等，则这两条弦是圆内的相交弦。 5

相关定理及例题表格

定理名称	内容描述	例题
相交弦定理	圆内两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等	已知弦长及比例，求另一弦长
切割线定理	从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的差的绝对值	从圆外一点引切线及割线，求切线长
切线长定理	从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等	从圆外一点引两条切线，求切线长