点乘叉乘运算法则详解

作者：邵丽娜（高考志愿填报专家）发布时间：2025-02-13 04:38:53 阅读38次

同学们，今天咱们来聊聊数学中的点乘和叉乘，这可是向量运算的基础，学好了对物理和工程学都大有裨益。

点乘运算法则

点乘，也就是向量的内积或数量积，结果是一个数。它的运算法则是：向量a·向量b=|a||b|cos。这个公式告诉我们，点乘的结果等于两向量的模长乘积，再乘以它们夹角的余弦值。在物理学中，求功就是力和位移向量的点乘。 2

叉乘，即向量的外积或向量积，结果是一个向量。运算法则为：|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin。这个新向量的模长等于原两向量模长的乘积，再乘以它们夹角的正弦值。方向由“右手法则”确定，即四指从a指向b，大拇指方向就是新向量的方向。注意，叉乘不满足交换律。 3

点乘的几何意义在于表征两向量的夹角，以及b向量在a向量方向上的投影。叉乘在三维几何中尤为重要，它的结果是一个垂直于原两向量平面的法向量。在3D图像学中，通过叉乘可以构建坐标系。 4

运算类型	结果类型	运算法则	几何意义	物理学应用
点乘	数	\|a\|\|b\|cos	夹角、投影	求功
叉乘	向量	\|a\|\|b\|sin	法向量	求力矩
-	-	满足交换律	-	-
叉乘	向量	不满足交换律	构建坐标系	3D图像学
点乘	数	与向量模长、夹角有关	判断向量方向性	力学分析
叉乘	向量	右手定则确定方向	垂直平面法向量	电磁学计算